Toán Lớp 12: Trong Không Gian Với Hệ Tọa Độ Oxyz Cho 3 Điểm

Bạn đang xem: Toán Lớp 12: Trong Không Gian Với Hệ Tọa Độ Oxyz Cho 3 Điểm

Câu 1

Cho tía điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;0) nhập không khí với hệ tọa phỏng oxyz. a, Hãy chứng tỏ A, B, C tạo nên trở thành một tam giác; b, Tính diện tích S tam giác ABC.

Bài giải:

a, Ta có: $\overline{AB}= (-1; 0; 1) ;\overline{AC}= (1; 1; 0)$

Suy ra:

Vậy 2 vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không nằm trong phương. 

Vậy A, B, C ko trực tiếp sản phẩm => ABC tạo nên trở thành một tam giác.

b, Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AB};\overline{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}.\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy A, B, C tạo nên trở thành một tam giác đem diện tích S là $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Câu 2 

Cho 3 điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3) và C(4;2;5) nhập không khí với hệ trục tọa phỏng Oxyz. Tìm tọa phỏng của điểm M bên trên mặt mày bằng phẳng (Oxy) sao cho tới |MA +MB + MC| có mức giá trị nhỏ nhất?

Bài giải:

Theo bài bác đi ra tao có:

$\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right | =\left | \overline{MG}+\overline{GA}+\overline{MG}+\overline{GB}+\overline{MG}+\overline{GC} \right |=\left | 3\overline{MG}+\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC} \right |$

Đầu tiên tao xác lập tọa phỏng điểm G sao cho: $\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}=\overline{0}$

hay rằng cách tiếp theo G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

G = $\left (\frac{0+2+4}{3};\frac{-3+4+2}{3};\frac{7-3+5}{3} \right )$ => Tọa phỏng điểm G (2; 1; 3)

Từ đó: $\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right | = \left | 3\overline{MG} \right | = 3.MG$

$\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right |$ nhỏ nhất lúc và chỉ Khi MG nhỏ nhất. Mà M phía trên mặt mày bằng phẳng (Oxy) nên M là hình chiếu của G lên (Oxy) 

=> M(2;1;0)

Vậy tọa phỏng điểm M(2;1;0) thì $\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right |$ có mức giá trị nhỏ nhất.

Tham khảo ngay lập tức cỗ tư liệu tổ hợp kỹ năng và kiến thức và chỉ dẫn cách thức giải từng dạng bài bác tập dượt nhập đề đua Toán trung học phổ thông Quốc Gia độc quyền của VUIHOC ngay

Câu 3: 

Cho tía điểm A(1;0;1), B(1;2;1), C(4;1;-2) nhập không khí với hệ tọa phỏng Oxyz, và mặt mày bằng phẳng Phường : x + hắn + z = 0. Trong những điểm (1;1;-1), (1;1;1) , (1;2;-1) , (1;0;-1), điểm này là vấn đề M bên trên (P) thỏa mãn $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ đạt độ quý hiếm nhỏ nhất?

Bài giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

G=$\left ( \frac{1+1+4}{3};\frac{0+2+1}{3};\frac{1+1-2}{3}\right )$ => G(2;1;0)

T = $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$

T = $(\overline{MG}+\overline{GA})^{2}+(\overline{MG}+\overline{GB})^{2}+(\overline{MG}+\overline{GC})^{2}$

T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+2\overline{MG}(\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC})$

T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+2\overline{MG}.\overline{0}$

T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$

Do $GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$ thắt chặt và cố định nên $T_{min}$ khi $MG_{min}$.

=> Mà M nằm trong (P) nên M là hình chiếu vuông góc của G lên (P)

Gọi (d) là đường thẳng liền mạch qua quýt G và vuông góc (P) => Phương trình đường thẳng liền mạch d là:

M là uỷ thác điểm của d và (P) nên thỏa mãn: 2 + t +1 + t +t = 0 ⇔ t = -1

=> M (1; 0; -1)

Câu 4

Cho tía điểm A(-2;3;1), B(2;1;0) và C(-3;-1;1) nhập không khí với hệ tọa phỏng Oxyz. Tìm điểm D sao cho tới ABCD là hình thang đem lòng AD và $S_{ABCD}=3S_{\Delta ABC}$.

Bài giải:

Vì tứ giác ABCD là hình thang 

Xem thêm: Đa dạng cơ hội việc làm Vĩnh Phúc với mức lương hấp dẫn 2024

=> AD//BC => $\overline{u}_{AD} =  \overline{u}_{BC} = (-5; -2; 1)$

=> Phương trình đường thẳng liền mạch AD là :

=$\frac{x+2}{-5}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-1}{1}$

=> D(-5t - 2; -2t + 3; t + 1)

Ta có: 

$S_{ABCD}$ = 3S_{ABCD} ⇔ S_{ABC} + S_{ACD} = 3S_{ABC}$

⇔ $S_{ACD} = 2S_{ABC}$

Mà diện tích S tam giác ABC là:

$S_{ABC} = =\frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AB}; \overline{AC}\right ] \right |=\frac{\sqrt{341}}{2} => S_{ACD}=\sqrt{341}$

Hay rằng cơ hội khác: 

$S_{ACD} = \frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AD};\overline{AC} \right ] \right |=\sqrt{341}$

 => $\frac{1}{2}\sqrt{341t^{2}}=\sqrt{341}$

Do ABCD là hình thang => D(-12; -1; 3)

Câu 5

Cho tía điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(-2;1;4) nhập không khí với hệ tọa phỏng Oxyz và mặt mày bằng phẳng (P): x-y+z+2=0. lõi điểm N ∊ (P). Trong những điểm (-2;0;1), $(\frac{4}{3}; 3;\frac{3}{2})$, $(\frac{1}{2}; 2; 1)$, (-1; 2;1), điểm này là tọa phỏng điểm N  sao cho tới S = $2NA^{2}+NB^{2} + NC^{2}$ đạt độ quý hiếm nhỏ nhất.

Bài giải:

Gọi M(a; b; c) vừa lòng đẳng thức vectơ $2\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} = 0$

⇔ 2(1-a;1-b;1-c) + (0-a; 1-b; 2-c) + (-2-a; 1-b; 4-c) = 0

⇔ (-4a;4-4b;8-4c) = 0

Khi đó:

S = $2NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}=2\overline{NA}^{2}+\overline{NB}^{2}+\overline{NC}^{2}$

= $2\left ( \overline{MN}+\overline{MA} \right )^{2}+\left ( \overline{MN}+\overline{MB} \right )^{2}+\left ( \overline{MN}+\overline{MC} \right )^{2}= 4MN2 + 2NM.(2MA +MB + MC ) + 2MA2+MB2 + MC2$

= $4MN^{2}+2MA^{2}+MB^{2}+MC^{2} (do 2\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC}=\overline{0})$

Vì $2MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ = const suy đi ra $S_{min}$ ⇔ $MN_{min}$

⇔ N là hình chiếu của M bên trên (P) => MN ⊥ (P)

Phương trình đường thẳng liền mạch MN là:

$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ => N(t; 1 - t; t + 2)

mà $N \in (P)$ suy ra: t - (1 - t) + t + 2 + 2 =0

⇔ t = -1 => N (-1;2;1)

Thông qua quýt những kỹ năng và kiến thức nhập bài viết, hi vọng các em đã có thể áp dụng thực hiện bài bác tập dượt Toán hình 12 nhập không khí với hệ tọa phỏng oxyz thật chính xác. Để có thể học tăng nhiều phần bài giảng thú vị và ôn tập dượt loài kiến thức Toán 12, các em có thể truy cập ngay lập tức Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc contact trung tâm tương hỗ nhằm chính thức quy trình học hành của tôi nhé!

>> Xem thêm:

• Cách xác lập góc đằm thắm đường thẳng liền mạch và mặt mày bằng phẳng nhập ko gian
• Lý thuyết phương trình mặt mày bằng phẳng và những dạng bài bác tập
• Góc đằm thắm 2 mặt mày phẳng: Định nghĩa, cơ hội xác lập và bài bác tập