Góc so le trong là gì? Dấu hiệu nhận biết hai góc so le trong
Chúng ta đã học về hai góc kề nhau, hai góc phụ nhau, hai góc phụ nhau, ... và ở lớp 7, chúng ta sẽ học những gì được tạo thành bởi một đường thẳng cắt hai
HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.ÔN TẬP LÝ THUYẾT:
1.Hàm số liên tiếp bên trên một điểm: $y = f(x)$ liên tiếp bên trên $x_0 \iff \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$
- Để xét tính liên tiếp của hàm số $y = f(x)$ bên trên điểm $x_0$ tao tiến hành những bước:
Bước 1: Tính $f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ (trong nhiều tình huống tao cần thiết tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x)$)
Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút đi ra tóm lại.
Bước 4: Kết luận.
2.Hàm số liên tiếp bên trên một khoảng: $y = f(x)$ liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong khoảng tầm cơ.
3.Hàm số liên tiếp bên trên một quãng $[a; b]$: $y = f(x)$ liên tiếp bên trên $(a; b)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)$.
4.Hàm số nhiều thức liên tiếp bên trên $\mathbb{R}$.
Hàm số phân thức, những hàm con số giác liên tiếp bên trên từng khoảng tầm xác lập của bọn chúng.
5.Giả sử $y = f(x),\,\, hắn = g(x)$ liên tiếp bên trên điểm $x_0$.
Bạn đang xem: CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ LIÊN TỤC - Chuyên đề toán THPT
Khi đó:
- Các hàm số $y = f(x) + g(x),\,\, hắn = f(x) – g(x),\,\, hắn = f(x).g(x)$ liên tiếp bên trên $x_0$.
- Hàm số $y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ liên tiếp bên trên $x_0$ nếu như $g(x_0) \ne 0$.
6.Nếu $y = f(x)$ liên tiếp bên trên $[a; b]$ và $f(a). f(b)< 0$ thì tồn bên trên tối thiểu một vài $c \in (a; b):\,\, f(c) = 0$.
Nói cơ hội khác: Nếu $y = f(x)$ liên tiếp bên trên $[a; b]$ và $f(a). f(b)< 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ sở hữu tối thiểu một nghiệm $c\in (a; b)$.
Mở rộng: Nếu $y = f(x)$ liên tiếp bên trên [a; b]. Đặt $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$, $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$. Khi cơ với từng $T \in (m; M)$ luôn luôn tồn bên trên tối thiểu một vài $c \in (a; b)$: $f(c) = T$.
B.CÁC DẠNG TOÁN:
Vấn đề 1: Hàm số liên tiếp bên trên một điểm:
Dạng 1: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m) & \text{nếu}\,\,x \ne {x_0}\\
g(x,m) & \text{nếu}\,\,x = {x_0}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$
Phương pháp:
Bước 1: Tính $f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$.
Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút đi ra tóm lại.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) = - 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} = - 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = - 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) = - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} = - 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$ nên hàm số $f(x)$ con gián đoạn bên trên ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ con gián đoạn bên trên ${x_0} = 1$
Ví dụ 3: Tìm m nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) = - 3m.1 - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} = - 3$
Để hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow - 3m - 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}$
Vậy: Giá trị $m$ cần thiết lần là $m = -3$
Bài luyện vận dụng:
Bài luyện 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên điểm được chỉ ra:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x + 3}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = - 1$
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
\frac{1}{4}& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Xem thêm: Mạng máy tính là gì? Thành phần và lợi ích của mạng máy tính
Xem thêm: Dẫn Chứng Về Lòng Biết Ơn: 38+ Mẫu Tấm Gương Biết Ơn Tiêu Biểu
c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\,\,\,\,\,\,\\
1& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
d) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{x}& &\text{nếu}\,x \ne 0\,\,\,\,\,\,\\
\frac{1}{3}& &\text{nếu}\,\,x = 0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
Bài luyện 2: Tìm $m$, $n$ nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm được chỉ ra:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
3x + m& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
m& &\text{nếu}\,\,x = 0\\
\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x(x - 3)}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 0,x \ne 3\\
n& &\text{nếu}\,\,x = 3
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0\,\,\text{và}\,\,x = 3$
c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 2}}{{\sqrt {6 - x} - \sqrt[3]{{6 + x}}}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
Dạng 2: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \ge {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x < {x_0}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$ hoặc $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x > {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \le {x_0}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$
Phương pháp:
Bước 1: Tính $f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$.
Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ với $f(x_0)$ và rút đi ra tóm lại.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 1 = 1$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = - 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) = - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 1) = - 1$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = - 3$ nên hàm số f(x) con gián đoạn bên trên ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ con gián đoạn bên trên ${x_0} = 1$
Ví dụ 3: Tìm m nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) = - 3m.1 - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 3mx - 1) = - 3m – 1$
Do hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow - 3m - 1 = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}$
Vậy: Giá trị $m$ cần thiết lần là: $m = - \frac{2}{3}$
Bài luyện vận dụng:
Bài luyện 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên điểm được chỉ ra:
a) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 5}}{{\sqrt {2x - 1} - 3}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\
{(x - 5)^2} + 3& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 5$
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 - \cos x& &\text{nếu}\,\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\
\sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - \sqrt {2 - x} }}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- \frac{x}{2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}& &\text{nếu}\,\,x < 0\\
1 - 2{x^2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,x = 0$
h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt[3]{{3 - 2x}} - \sqrt {2 - x} }}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- \frac{x}{2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Bài luyện 2: Tìm m nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm được chỉ ra:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
2mx - 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
b) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 5}}{{\sqrt {2x - 1} - 3}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\
{(x - 5)^2} + 3m& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 5$
c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 - m\cos x& &\text{nếu}\,\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\
\sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0
\end{array} \right.\text{tại}\,\,x = 0$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2mx + 1& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2(m - 1)x + 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
m - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Vấn đề 2: Hàm số liên tiếp bên trên luyện xác lập của nó:
Dạng 1: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \ne {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x = {x_0}
\end{array} \right.$
Phương pháp:
Bước 1: Tìm luyện xác lập của hàm số.
Bước 2: Khi $x \ne {x_0}$. Kiểm tra tính liên tiếp của hàm số $f(x)$ bên trên $x \ne {x_0}$.
Bước 3: Khi $x = {x_0}$.
- Tính $f(x_0)$.
- Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$.
- So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút đi ra tóm lại bên trên điểm $x_0$.
Bước 4: Kết luận tính liên tiếp bên trên luyện xác lập của bọn chúng.
Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên luyện xác lập của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
3& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ sở hữu luyện xác lập là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tiếp bên trên từng khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
- Nếu $x = 1$
$f(1) = - 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
Suy đi ra hàm số f(x) liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên $\mathbb{R}$.
Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên luyện xác lập của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ sở hữu luyện xác lập là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tiếp bên trên từng khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
- Nếu $x = 1$
$f(1) = - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$ nên hàm số $f(x)$ ko liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
Suy đi ra hàm số $f(x)$ ko liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên từng khoảng tầm $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ tuy nhiên con gián đoạn bên trên ${x_0} = 1$
Ví dụ 3: Tìm $m$ nhằm hàm số liên tiếp bên trên luyện xác lập của chúng:
$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ sở hữu luyện xác lập là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tiếp bên trên từng khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
- Nếu $x = 1$
$f(1) = - 3m - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
Do hàm số $f(x)$ ko liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow - 3m - 1 = 3 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}$.
- Vậy: Giá trị $m$ cần thiết lần là $m = - \frac{4}{3}$
Bài luyện vận dụng:
Bài luyện 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên luyện xác lập của chúng:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x + 3}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,$
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
\frac{1}{4}& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$
c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,x \ne 2\,\,\,\,\,\,\\
1& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$
d) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} + x + 2}}{{{x^3} + 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne - 1\\
\frac{4}{3}& &\text{nếu}\,\,x = - 1
\end{array} \right.$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne - 2\\
- 4& &\text{nếu}\,\,x = - 2
\end{array} \right.$
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }}& &\text{nếu}\,\,x \ne \sqrt 2 \\
2\sqrt 2& &\text{nếu}\,\,x = \sqrt 2
\end{array} \right.$
Bài luyện 2: Tìm m nhằm hàm số liên tiếp bên trên trên luyện xác lập của chúng:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
3x + m& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$
b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
m & & khi\,\,x = 0\\
\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x(x - 3)}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 0,x \ne 3\\
n& &\text{nếu}\,\,x = 3
\end{array} \right.$
c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
3x + m& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$
Dạng 2:$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \ge {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x < {x_0}
\end{array} \right.$ hoặc $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x > {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \le {x_0}
\end{array} \right.$
Phương pháp:
Bước 1: Tìm luyện xác lập của hàm số.
Bước 2: Khi $x \ne {x_0}$. Kiểm tra tính liên tiếp của hàm số $f(x)$ bên trên những khoàng.
Bước 3: Khi $x = {x_0}$.
- Tính $f(x_0)$.
- Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$.
- So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ với $f(x_0)$ và rút đi ra tóm lại bên trên điểm ${x_0}$.
Bước 4: Kết luận tính liên tiếp bên trên luyện xác lập của bọn chúng.
Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên luyện xác lập của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
3& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ sở hữu luyện xác lập là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tiếp bên trên từng khoảng tầm $\left( {1; + \infty } \right)$.
- Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) = 1$.
Đây là hàm nhiều thức sở hữu luyện xác lập là $\mathbb{R}$.
Vậy nó liên tiếp bên trên từng khoảng tầm $\left( { - \infty ;1} \right)$.
- Nếu $x = 1$
$f(1) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 3 = 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 3$ nên hàm số f(x) liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên ${x_0} = 1$
- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên $\mathbb{R}$.
Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên luyện xác lập của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ sở hữu luyện xác lập là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tiếp bên trên khoảng tầm $\left( {1; + \infty } \right)$.
- Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) = 1$.
Đây là hàm nhiều thứccó luyện xác lập là $\mathbb{R}$.
Vậy nó liên tiếp bên trên từng khoảng tầm $\left( { - \infty ;1} \right)$.
- Nếu $x = 1$
$f(1) = - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} - 1 = - 1$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1)$ nên hàm số $f(x)$ con gián đoạn bên trên ${x_0} = 1$
- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tiếp bên trên $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$ và con gián đoạn bên trên ${x_0} = 1$.
Ví dụ 3: Tìm $m$ nhằm hàm số liên tiếp bên trên luyện xác lập của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ sở hữu luyện xác lập là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tiếp bên trên khoảng tầm $\left( {1; + \infty } \right)$.
- Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) = - 3mx - 1$.
Đây là hàm nhiều thứccó luyện xác lập là $\mathbb{R}$.
Vậy nó liên tiếp bên trên từng khoảng tầm $\left( { - \infty ;1} \right)$.
- Nếu $x = 1$
$f(1) = - 3m - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 3mx - 1) = - 3m – 1$.
Để hàm số $f(x)$ con gián đoạn bên trên ${x_0} = 1$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}$.
- Vậy: Giá trị $m$ cần thiết lần là $m = - \frac{4}{3}$.
Bài luyện vận dụng:
Bài luyện 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên luyện xác lập của chúng:
a) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 25}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\
{(x - 5)^2} + \frac{1}{{10}}& &\text{nếu}\,x \le \,\,5
\end{array} \right.\,\,\,\,$
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 - \cos x& &\text{nếu}\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\
\sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0
\end{array} \right.$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
1 - x& &\text{nếu}\,\,\,x \le \,3\\
\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{2x - 6}}& &\text{nếu}\,\,\,\,\,x\, > \,3
\end{array} \right.$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,$
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,$
g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x + 4& &\text{nếu}\,\,x < 2\\
5& &\text{nếu}\,\,x = 2\\
2x + 1& &\text{nếu}\,\,x > 2
\end{array} \right.$
h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{12 - 6x}}{{{x^2} - 7x + 10}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
2& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$
Bài luyện 2: Tìm m nhằm hàm số liên tiếp bên trên luyện xác lập của chúng:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} & &\text{nếu}\,\,x < 1\\
2mx - 3 & &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.$
b) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 25}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\
{(x - 5)^2} + 3m& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5
\end{array} \right.\,\,\,\,\,$
c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 - m\cos x& &\text{nếu}\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\
\frac{{{x^3} + x}}{x} & &\text{nếu}\,\,x > \,0
\end{array} \right.$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2mx + 1& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2(m - 1)x + 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,$
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
m - 2x & &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,$
g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
2{m^2} + 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1\\
\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1
\end{array} \right.$
h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x & & \text{nếu}\,\,x < 1\\
2 & & \text{nếu}\,\,x = 1\\
mx + 1 & & \text{nếu}\,\,x > 1
\end{array} \right.$
i) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} & &\text{nếu}\,\,x < 1\\
2mx - 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.$
j) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 1}} & \text{nếu}\,\,x < 1\\
mx + 2\quad \quad \quad & \text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.$
Vấn đề 3: Chứng minh phương trình sở hữu nghiệm:
Ví dụ 1: Chứng minh phương trình $3{x^3} + 2x - 2 = 0$ sở hữu nghiệm trong tầm $\left( {0;1} \right)$
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số $f(x) = 3{x^3} + 2x - 2$là hàm nhiều thức, liên tiếp bên trên R tức liên tiếp bên trên khoảng tầm $\left( {0;1} \right)$.
- Ta có: $f(0).f(1) = ( - 2).(3) = - 6 < 0$.
- Do đó: $\exists c \in (0;1):\,f(c) = 0$, tức phương trình sở hữu nghiệm $c \in \left( {0;1} \right)$.
Ví dụ 2: Chứng minh phương trình $2{x^3} - 6{x^2} + 5 = 0$ sở hữu tía nghiệm trong tầm $\left( { - 1;3} \right)$.
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số $f(x) = 2{x^3} - 6{x^2} + 5$ liên tiếp bên trên R nên $f(x) = 2{x^3} - 6{x^2} + 5$ liên tiếp bên trên từng đoạn.
- Ta có: $f( - 1) = - 3 < 0$, $f(0) = 5 > 0$, $f(2) = - 3 < 0$, $f(3) = 5 > 0$. Suy đi ra phương trình sở hữu nghiệm trong những khoảng tầm $\left( { - 1;0} \right)$, $\left( {0;2} \right)$, $\left( {2;3} \right)$.
- Vậy: Phương trìn sở hữu tía nghiệm bên trên khoảng tầm $\left( { - 1;3} \right)$
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: $a{x^2} + bx + c = 0$ luôn luôn sở hữu nghiệm $x \in \left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$với $a \ne 0$ và $2a + 6b + 19c = 0$.
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số $f(x) = a{x^2} + bx + c$ liên tiếp bên trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $f(0) = c$, $f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c)$
Do đó: $f(0) + 18f(\frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0$
Như thế:
- Nếu $f(0) = 0$ hoặc $f(\frac{1}{3}) = 0$ phương trình $f(x) = 0$ phân biệt sở hữu nghiệm nằm trong $\left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$.
- Nếu $f(0) \ne 0$ và $f(\frac{1}{3}) \ne 0$ tao thấy $f(0)f(\frac{1}{3}) < 0$.
Vậy: Phương trình $f(x) = 0$ sở hữu nghiệm bên trên $\left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$.
Ví dụ 4: Với từng $a,\,b,\,c \in R$, minh chứng phương trình: $a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0$ luôn luôn trực tiếp sở hữu nghiệm.
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số $f(x) = a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b)$ liên tiếp bên trên $\mathbb{R}$.
$f(a) = a(a - b)(a - c)$, $f(b) = b(b - c)(b - a)$, $f(c) = c(c - a)(c - b)$
Giả sử $a \le b \le c$ (tương tự động những tình huống sau)
- Nếu $a = 0$ hoặc $b = 0$hoặc $c = 0$ tao sở hữu $f(0) = 0$ vì thế $x = 0$ là 1 trong nghiệm của phương trình.
- Nếu $b \ne 0$. Ít nhất sở hữu 1 trong nhì tình huống xảy ra:
+Với $a \le b < 0 \Rightarrow f(a)f(b) = - ab{(a - b)^2}(a - c)(b - c) \le 0$
Suy đi ra phương trình sở hữu nghiệm bên trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$
+Với $0 < b \le c \Rightarrow f(b)f(c) = - bc{(a - b)^2}(b - a)(b - c) \le 0$
Suy đi ra phương trình sở hữu nghiệm bên trên đoạn $\left[ {b;c} \right]$.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu như $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c = 0$ sở hữu tối thiểu một nghiệm trong tầm $\left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right)$ với $k \in Z$
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số ${\rm{f(x) = ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c$
Đặt ${\rm{t = tanx, }}\,{{\rm{x}}_{\rm{0}}} \in \left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$. Khi cơ tao có: ${\rm{f(t) = a}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}} + bt + c$ sở hữu tối thiểu một nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$.
- Nếu ${\rm{a}} \ne {\rm{0,}}\,\,{\rm{c}} \ne {\rm{0}}$. Ta có: ${\rm{f(0)f}}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = c}}\left( {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{9}}}a + \frac{2}{3}b + c} \right) = - \frac{{{c^2}}}{3} < 0$. Vậy phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ sở hữu nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right)$.
- Nếu ${\rm{c = 0}}$, khi cơ phương trình sở hữu nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{1}}} = 0$, ${{\rm{t}}_{\rm{2}}} = \frac{2}{3}$ sở hữu nghĩa ${{\rm{t}}_{\rm{2}}} = \frac{2}{3} \in (0;1)$.
- Nếu ${\rm{a = 0}}$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{bt + c = 0}}\\
{\rm{3(b + 2c) = 0}}
\end{array} \right.$
+Với ${\rm{b = c = 0}}$ phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ sở hữu vô số nghiệm nên tất yếu sẽ sở hữu một nghiệm nằm trong ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$.
+Với ${\rm{b}} \ne {\rm{0,}}\,\,{\rm{t = - }}\frac{{\rm{c}}}{{\rm{b}}} = \frac{1}{2} \in \left( {0;1} \right)$.
- Tóm lại: $\forall a,\,b,\,c$ vừa lòng $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ sở hữu tối thiểu một nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$, tức là $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c = 0$ sở hữu tối thiểu một nghiệm trong tầm $\left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right)$ với $k \in Z$.
Bài luyện vận dụng:
Bài luyện 1: Chứng minh rằng những phương trình sau sở hữu 3 nghiệm phân biệt:
a) ${x^3} - 3x + 1 = 0$
b) ${x^3} + 6{x^2} + 9x + 1 = 0$
c) $2x + 6\sqrt[3]{{1 - x}} = 3$
Bài luyện 2: Chứng minh rằng những phương trình sau luôn luôn sở hữu nghiệm:
a) ${x^5} - 3x + 3 = 0$
b) ${x^5} + x - 1 = 0$
c) ${x^4} + {x^3} - 3{x^2} + x + 1 = 0$
Bài luyện 3: Chứng minh rằng phương trình: ${x^5} - 5{x^3} + 4x - 1 = 0$ sở hữu 5 nghiệm bên trên $(–2; 2)$.
Bài luyện 4: Chứng minh rằng những phương trình sau luôn luôn sở hữu nghiệm với từng độ quý hiếm của tham ô số:
a) $m{(x - 1)^3}(x - 2) + 2x - 3 = 0$
b) ${x^4} + m{x^2} - 2mx - 2 = 0$
c) $a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0$
d) $(1 - {m^2}){(x + 1)^3} + {x^2} - x - 3 = 0$
e) $\cos x + m\cos 2x = 0$
f) $m(2\cos x - \sqrt 2 ) = 2\sin 5x + 1$
Bài luyện 5: Chứng minh rằng phương trình:
a) ${x^3} + 6{x^2} + 9x + 1 = 0$ sở hữu 3 nghiệm phân biệt.
b) $m{(x - 1)^3}({x^2} - 4) + {x^4} - 3 = 0$ luôn luôn sở hữu tối thiểu 2 nghiệm với từng độ quý hiếm của m.
c) $({m^2} + 1){x^4} - {x^3} + 1 = 0$ luôn luôn sở hữu tối thiểu 2 nghiệm ở trong tầm $\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)$ với từng m.
d) ${x^3} + m{x^2} - 1 = 0$ luôn luôn có một nghiệm dương.
e) ${x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0$ sở hữu nghiệm trong tầm $(1; 2)$.
Bài luyện 6: Chứng minh những phương trình sau luôn luôn sở hữu nghiệm:
a) $a{x^2} + bx + c = 0$ với $2a + 3b + 6c = 0$
b) $a{x^2} + bx + c = 0$ với $a + 2b + 5c = 0$
c) ${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$
Bài luyện 7: Cho $m > 0$ và $a$, $b$, $c$ là 3 số thực thoả mãn: $\frac{a}{{m + 2}} + \frac{b}{{m + 1}} + \frac{c}{m} = 0$. Chứng minh rằng phương trình: $f(x) = a{x^2} + bx + c = 0$ sở hữu tối thiểu một nghiệm nằm trong khoảng tầm $(0; 1)$.
HD: Xét 2 tình huống $c = 0$; $c \ne 0$. Với $c \ne 0$ thì $f(0).f\left( {\frac{{m + 1}}{{m + 2}}} \right) = - \frac{{{c^2}}}{{m(m + 2)}} < 0$
Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung vị nguyenthanhhung1985: 05-07-2017 - 00:37