Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $({un})$ biết ${u1} = 1$ và ${u1},{u3},{u4}$ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp tr?
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(({u_n})\) biết \({u_1} = 1\) và \({u_1},{u_3},{u_4}\) theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng.
A. \(\dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.\)
B. \(\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)
C. \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 - 1}}.\)
D. \(2.\)
Đáp án B
Chọn B
\(({u_n})\) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q,\) suy ra \(\left| q \right| < 1\) và \({u_3} = {u_1}.{q^2} = {q^2},{u_4} = {u_1}.{q^3} = {q^3}.\)
Mà và \({u_1},{u_3},{u_4}\) theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng nên \({u_1} + {u_4} = 2.{u_3}.\)
Từ đó ta có \(1 + {q^3} = 2.{q^2} \Leftrightarrow {q^3} - 2.{q^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow (q - 1)({q^2} - q - 1) = 0 \Leftrightarrow {q^2} - q - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\
q = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow q = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\) ( vì \(\left| q \right| < 1\) ).Vậy \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{2}{{1 + \sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)
